5 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Круговое движение в Физике

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

Читать еще:  Как поменять втулки стабилизатора

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

Круговое движение

В физике кругово́е движе́ние — это вращение по кругу, т. е. это круговой путь по круговой орбите. Оно может быть равномерным (с постоянной угловой скоростью) или неравномерным (с переменной угловой скоростью). Вращение трёхмерного тела вокруг неподвижной оси включает в себя круговое движение каждой его части. Мы можем говорить о круговом движении объекта только если можем пренебречь его размерами, так что мы имеем движение массивной точки на плоскости. Например, центр масс тела может совершать круговое движение.

Примеры кругового движения: искусственный спутник на геосинхронной орбите, камень на верёвке, вращающийся по кругу (см. метание молота), болид, совершающий поворот, электрон, движущийся перпендикулярно постоянному магнитному полю, зубчатое колесо, вращающееся внутри механизма.

Круговое движение является ускоренным, даже если происходит с постоянной угловой скоростью, потому что вектор скорости объекта постоянно меняет направление. Такое изменение направления скорости вызывает ускорение движущегося объекта центростремительной силой, которая толкает движущийся объект по направлению к центру круговой орбиты. Без этого ускорения объект будет двигаться прямолинейно в соответствии с законами Ньютона.

Содержание

Формулы для равномерного кругового движения

Для движения по кругу радиуса R длина окружности будет C = 2π R. Если период вращения есть T, то угловая скорость вращения ω будет равна:

Скорость движения объекта равна

Угол поворота θ за время t равен:

Ускорение, вызванное изменением направления скорости, можно найти, если заметить, что скорость совершает полное изменение направления за то же самое время T, за которое объект делает один оборот. Тогда вектор скорости проходит путь длиной 2π v каждые T секунд, или:

и направлено радиально к центру.

Взаимосвязи векторов показаны на рис. 1. Ось вращения изображена вектором Ω, перпендикулярно плоскости орбиты и имеет величину ω = dθ / dt. Направление вектора Ω выбрано в соответствии с правилом правой руки. По этому соглашению скорость это векторное произведение вида:

и есть вектор, перпендикулярный как Ω так и r ( t ), направленный по касательной к орбите и имеющий величину ω R. Аналогично, ускорение определяется как:

Оно представляет собой вектор, перпендикулярный как Ω так и v ( t ), имеющий величину ω |v| = ω 2 R и направление строго противоположно к r ( t ).

Постоянная скорость

В простейшем случае скорость, масса и радиус являются постоянными.

Рассмотрим тело массой один килограмм, движущееся по кругу радиуса один метр с угловой скоростью один радиан в секунду.

  • Скорость: один метр в секунду
  • Радиальное ускорение: один метр в секунду за секунду.
  • Ускорение сообщается центростремителной силой один килограмм на метр в секунду за секунду, т. е. один ньютон.
  • Импульс тела: один kg·m·s −1 .
  • Момент инерции: один kg·m 2 .
  • Момент импульса: один kg·m 2 ·s −1 .
  • Кинетическая энергия: 1/2 джоуля.
  • Длина окружностиорбиты: 2π (

6.283) метров.

  • Период движения: 2π секунд на один оборот.
  • Частота: (2π) −1 герц.
  • С точки зрения квантовой механики система находится в возбужденном состоянии с квантовым числом

    Теперь рассмотрим тело массы m, движущееся по кругу радиуса r с угловой скоростью ω.

    • Скорость: v = r·ω.
    • Радиальное ускорение: a = r·ω 2 = r −1 ·v 2 .
    • Центростремительная сила: F = m·a = r·m·ω 2 = r −1 ·m·v 2 .
    • Импульс тела: p = m·v = r·m·ω.
    • Момент инерции: I = r 2 ·m.
    • Момент импульса: L = r·m·v = r 2 ·m·ω = I·ω.
    • Кинетическая энергия: E = 2 −1 ·m·v 2 = 2 −1 ·r 2 ·m·ω 2 = (2·m) −1 ·p 2 = 2 −1 ·I·ω 2 = (2·I) −1 ·L 2 .
    • Длина окружности орбиты: 2·π·r.
    • Период движения: T = 2·π·ω −1 .
    • Частота: f = T −1 . (Вместо буквы f частота часто обозначается греческой буквой ν, которая, однако, часто неотличима от буквы v, используемой здесь для обозначения скорости).
    • Квантовое число: J = 2·π·Lh −1

    Переменная скорость

    В круговом движении полную силу, приложенную к объекту, можно разложить на две составляющие: центростремительную, удерживающую тело на круговой орбите (т. е. меняющую направление вектора скорости), и тангенциальную, направленную по касательной к окружности и вызывающую изменение длины вектора скорости (т. е. меняющую скорость вращения тела по орбите). Величина центростремительной составляющей зависит от мгновенной скорости.

    Для примера, когда камень привязан к концу верёвки, он подвергается воздействию силы, мы можем разложить силу на радиальную и боковую составляющие. Радиальная направлена к центру (вовнутрь) окружности и вызвана тем, что веревка сопротивляется удлинению. А боковая составляющая определяет — будет вращение камня ускоряться или замедляться.

    Описание кругового движения в полярных координатах

    Траектория кругового движения тела может быть описана в полярной системе координат значениями фиксированного расстояние R от центра орбиты, являющейся точкой отсчёта, и угла ориентации θ (t) от некоторого фиксированного направления (рис. 2). Вектор перемещения является радиальным вектором от полюса до текущего положения:

    где — единичный вектор, параллельный радиусу в момент t и направленный от полюса. Удобно также ввести единичный векторортогональный к , который назовём . Обычно его ориентация выбирается по направлению движения вдоль орбиты.

    Скорость является производной перемещения по времени:

    Поскольку радиус окружности является константой, радиальная составляющая скорости равна нулю. Единичный вектор имеет инвариантное по времени значение, так что при изменении времени его конец всегда лежит на окружности единичного радиуса, а угол θ такой же, как у . Если произошло малое приращение угла dθ за время dt, тогда описывает дугу единичной окружности со значением dθ (см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно:

    где направление изменения должно быть перпендикулярно к (или, другими словами, вдоль ), поскольку любое изменение d в направлении будет изменять величину . Знак положительный, потому что увеличение dθ влияет на объект и передвигается в направлении . Следовательно, скорость становится:

    Ускорение тела также можно разложить на радиальную и тангенциальную составляющие. Ускорение есть производная скорости по времени:

    Производная по времени от находится таким же путём, как и для . Опять же, есть единичный вектор, и его конец расположен на единичной окружности, а угол равен π/2 + θ. Следовательно, приращение угла dθ вектора перемещает по дуге на величину dθ, и поскольку перпендикулярен к , мы имеем:

    где отрицательный знак необходим, чтобы сохранить перпендикулярным к . (Иначе угол между и будет уменьшаться с увеличением dθ, см. единичную окружность слева на рис. 2). Следовательно, ускорение равно:

    Центростремительное ускорение — это радиальная составляющая, направленная по радиусу вовнутрь:

    тогда как тангенциальная составляющая изменяет значение скорости:

    Описание кругового движения в комплексных числах

    Круговое движение можно описать с использованием комплексных чисел. Пусть — ось вещественных чисел, а — ось мнимых чисел. Тогда положение тела может быть задано в виде комплексного «вектора» :

    где есть мнимая единица, и

    есть угол комплексного вектора по отношению к вещественной оси как функция времени t. Поскольку радиус есть константа:

    где точка означает дифференциал по времени. В этих обозначениях скорость имеет вид :

    Первое слагаемое направлено против вектора перемещения, а второе — перпендикулярно ему, как и в предыдущих результатах.

    Круговое движение в Физике

    Рассмотрите круговое движение: термины и определение, вектор скорости объекта в равномерном круговом движении, правила, Первый закон Ньютона, формула.

    Объект в круговом движении проходит сквозь ускорение из-за центростремительной силы в направлении центра вращения.

    Задача обучения

    • Разобраться в равномерном круговом движении как показателе чистой внешней силы.

    Основные пункты

    • Объект в круговом движении обладает вектором, который постоянно меняет направление.
    • Необходимую для поддержания круговых движений в направлении к центру силу именуют центростремительной.
    • Скорость объекта в круговом движении всегда касается окружности, а центростремительная сила перпендикулярна скорости.

    Термины

    • Тангенс – прямая линия, касающаяся кривой в одной точке, не пересекая ее в этой точке.
    • Перпендикуляр – формирование прямого угла.

    Пример

    Давайте рассмотрим действие и правила кругового движения на конкретном примере. Допустим у нас есть шаттл, совершающий обороты вокруг планеты. Он подчиняется равномерному круговому движению, поэтому должна существовать сила, препятствующая вылету челнока с орбиты. Здесь ее роль исполняет гравитация. Связь гравитационного притяжения и скоростью шаттла равняется: mg I = mv 2 r (m – масса шаттла, v – скорость вращения вокруг планеты, r – радиус орбиты).

    Равномерное круговое движение создает перемещение объекта по кругу или дуге окружности с постоянным показателем скорости. Равномерное линейное движение выступает главной формой поступательного. Но два типа движения отличаются отношением к силе, которая требуется для их поддерживания.

    Вспомним о Первом законе движения Ньютона. Он говорит, что объект будет поддерживать утраченную скорость, если не применять к нему чистую внешнюю силу. Так что равномерное линейное движение демонстрирует ее отсутствие. Однако подобное движение требует, чтобы вектор скорости объекта постоянно менял направление. Из-за этого создается ускорение.

    При равномерном круговом движении центростремительная сила перпендикулярна скорости. Центростремительная сила указывает на центр круга, удерживая объект на круговой траектории

    В равномерном круговом движении сила всегда перпендикулярна направлению скорости. Направление скорости постоянно меняется, поэтому должно присутствовать и направление силы. Направление происходит тангенциально, а значит перпендикулярное направление в круговой траектории выступает радиальным. Сила в движении равномерного направления пребывает в радиальном, поэтому ускорение старается достичь центра.

    Необходимое уравнение для поддержания равномерного кругового движения:

    Здесь m – масса объекта, v – скорость, r – радиус круга. А вот для нахождения чистой внешней силы нужно:

    Круговое движение

    • О разновидности перекрёстков: см. Круговой перекрёсток.В физике кругово́е движе́ние — это вращательное движение материальной точки или тела, когда ось вращения в выбранной системе отсчёта неподвижна и не проходит через центр тела. В этом случае траектория точки или тела является кругом, круговой орбитой. Оно может быть равномерным (с постоянной угловой скоростью) или неравномерным (с переменной угловой скоростью). Вращение трёхмерного тела вокруг неподвижной оси включает в себя круговое движение каждой его части. Мы можем говорить о круговом движении объекта только если можем пренебречь его размерами, так что мы имеем движение массивной точки на плоскости. Например, центр масс тела может совершать круговое движение.

    Примеры кругового движения: искусственный спутник на геосинхронной орбите, камень на верёвке, вращающийся по кругу (см. метание молота), болид, совершающий поворот, электрон, движущийся перпендикулярно постоянному магнитному полю, зубчатое колесо, вращающееся внутри механизма.

    Круговое движение является ускоренным, даже если происходит с постоянной угловой скоростью, потому что вектор скорости объекта постоянно меняет направление. Такое изменение направления скорости вызывает ускорение движущегося объекта центростремительной силой, которая толкает движущийся объект по направлению к центру круговой орбиты. Без этого ускорения объект будет двигаться прямолинейно в соответствии с законами Ньютона.

    Связанные понятия

    Упоминания в литературе

    Связанные понятия (продолжение)

    В релятивистской физике координатами Риндлера называется важная и полезная координатная система, представляющая часть плоского пространства-времени, также называемого пространством Минковского. Координаты Риндлера были введены Вольфгангом Риндлером для описания пространства-времени равномерно ускоренного наблюдателя.

    Теоре́ма промежу́точной оси́, или теоре́ма те́ннисной раке́тки в классической механике — утверждение о неустойчивости вращения твёрдого тела относительно второй главной оси инерции. Является следствием законов классической механики, описывающих движение твёрдого тела с тремя различными главными моментами инерции. Проявление теоремы при вращении такого тела в невесомости часто называют эффектом Джанибекова, в честь советского космонавта Владимира Джанибекова, который заметил это явление 25 июня.

    Движение тела по окружности в физике

    Движение по окружности — это вращательное движение определённой материальной точки или тела, ось вращения в выбранной системе отсчёта неподвижна и не проходит через центр тела.

    Такое движение может быть :

    1. Равномерное движение (с постоянной угловой скоростью):
      Формула угловой скорости: ;
      Формула скорости движения: ;
      Формула угла поворота: ;
      Формула ускорения: ;
    2. Неравномерное движение (с переменной угловой скоростью):
      Формула тангенциального ускорения: ;
      Формула центростремительного ускорения: ;

    — период вращения;
    — время;
    — угловая скорость;
    — радиус;
    — тангенциальное ускорение;
    — центростремительное (полное) ускорение;

    Таким не хитрым образом мы познакомились с «движение тела по окружности в физике»!

    Источники:

    http://fizmat.by/kursy/kinematika/okruzhnost
    http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/kinematika/dvizhenie-po-okruzhnosti/
    http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/990197
    http://v-kosmose.com/fizika/krugovoe-dvizhenie/
    http://kartaslov.ru/%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0-%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B5+%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
    http://nikulux.ru/fizika/dvizhenie-tela-po-okruzhnosti-v-fizike/

  • Ссылка на основную публикацию
    Статьи c упоминанием слов:
    Adblock
    detector