Математический портал Дифференциал функции Дифференциалы первого порядка

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Математический анализ
• Дифференциалы первого порядка.

Дифференциал функции. Дифференциалы первого порядка.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Определение. Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0,$ если ее приращение $Delta y(x_0, Delta x)$ может быть представлено в виде $$Delta y(x_0, Delta x)=ADelta x+o(Delta x).$$

Главная линейная часть $ADelta x$ приращения $Delta y$ называется дифференциалом этой функции в точке $x_0,$ соответствующим приращению $Delta x,$ и обозначается символом $dy(x_0, Delta x).$

Для того, чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируема в точке $x_0,$ необходимо и достаточно, чтобы существовала производная $f'(x_0),$ при этом справедливо равенство $A=f'(x_0).$

Выражение для дифференциала имеет вид $$dy(x_0, dx)=f'(x_0)dx,$$ где $dx=Delta x.$

Свойства дифференциала:

1. $d(C)=0,$ где $C -$ постоянная;

2. $d(C_1u+C_2v)=C_1du+C_2dv;$

3. $d(uv)=udv+vdu;$

5. Пусть $z(x)=z(y(x)) -$ сложная функция, образованная компазицией функций $y=y(x)$ и $z=z(y).$ Тогда

$$dz(x, dx)=z'(y)dy(x, dx), $$ то ес т ь выражение для дифференциала сложной функции через дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение $dz(x, dx)=z'(x)dx.$ Это утверждение называется инвариантностью формы 1-го дифференциала.

Примеры.

Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента $x$ и при произвольном его приращении $Delta x=dx:$

5.285. $xsqrt+a^2arcsinfrac-5.$

Решение.

Таким образом, $dy=2sqrtdx.$

Ответ: $dy=2sqrtdx.$

5.286. $sin x-xcos x+4.$

Решение.

Пусть $y(x)=sin x-xcos x+4.$

$y'(x)=(sin x-xcos x+4)’=cos x-x’cos x-x(cos x)’+4’=$ $=cos x-cos x+xsin x=xsin x.$

Таким образом, $dy=xsin xdx.$

Ответ: $dy=xsin xdx.$

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.290. $y^5+y-x^2=1.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

Приравнивая полученные выражения, получаем $-2xdx+(5y^4+1)dy=0.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

Ответ: $dy=frac<2x><5y^4+1>dx.$

5.293. $e^y=x+y.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

Приравнивая полученные выражения, получаем $e^ydy=dx+dy.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

Ответ: $ dy=frac<1>dx$

5. 297. $cos (xy)=x.$

Решение.

Перепишем заданное равенство в виде тождества

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим:

$d(cos (xy))=-sin (xy)d(xy)=-sin (xy)(ydx+xdy)=-ysin (xy)dx-xsin (xy)dy;$

Приравнивая полученные выражения, получаем $-ysin (xy)dx-xsin (xy)dy=dx.$ Из этого уравнения выражаем $dy$ через $x, y$ и $dx:$

Домашнее задание.

Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента $x$ и при произвольном его приращении $Delta x=dx:$

5.287. $x arctg x-lnsqrt<1+x^2>.$

Ответ: $arctg xdx.$

5.288. $xln x-x+1.$

Ответ: $ln xdx.$

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций $y=y(x):$

5.291. $x^4+y^4=x^2y^2.$

5.294. $y=x+arctg y.$

Ответ: $fracdx.$

5.295. $y=cos (x+y).$

5.296. $arctgfrac=lnsqrt.$

Ответ: $fracdx.$

Дифференциал функции

Полный дифференциал для функции двух переменных:

2. Примеры
   ≡ x^2/(x+2)
   cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
   ≡ x+(x-1)^(2/3)

Пусть f(x) дифференцируема в точке x и f ‘(x)≠0 , тогда ∆y=f’(x)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x)∆x.
, то есть ∆y

f’(x)∆x. Следовательно, f’(x)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x и обозначают dy(x) или df(x). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)

Пример . Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4 tg2 x
Решение:

дифференциал:
б)
Решение:

дифференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:

дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:

Пример . Для функции y=x 3 найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Дифференциал функции – виды, свойства и примеры вычислений

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции.

Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Пусть y = f (x) имеет производную

Применяя свойства предела функции, получают равенство

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).

Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

Отсюда получается формула:

Для второго порядка вводится обозначение d 2 y.

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,

Примеры решения задач

Задача №1

Найти дифференциал функции

Задача №2

Вычислить значение дифференциала функции

при условии, что

В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала.

Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:

Этот результат вытекает непосредственно из определения:

Задача №3

Найти d 2 y, если y = cos2x и x – независимая переменная.

Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,

Задача №4

Найти d 2 y, если y = x 2 и x = t 3 + 1, t – независимый аргумент.

Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.

с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.

Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:

Задача №5

Вычислить приближённо arctg1,05.

Пусть f(x) = arctg x. Тогда

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.

Например, если z = f(x;y) то

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Заключение

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Свойства первого дифференциала функции.

На мой взгляд, основным необходимым навыком для успешного вычисления неопределенных интегралов является умение вносить функцию под знак дифференциала или извлекать таковую из-под знака дифференциала, основанное на свойствах его инвариантности и линейности.

Свойство инвариантности первого дифференциала функции.

Точнее, свойство инвариантности его формы или формулы.

Такая формулировка вопроса часто встречается в экзаменационных билетах по математическому анализу в зимнюю сессию. Как правило, этот вопрос студенты относят к нежелательным: формализованным и непонятным. А зря. В самом деле, это свойство очень простое, полезное и весьма востребованное в процессе вычисления неопределённых интегралов. Оно является следствием правила дифференцирования сложной функции:

Пусть задана сложная функция y = f (φ(x)) .
Формула дифференциала функции имеет вид dy = y’ (x)·dx , где dx – дифференциал независимой переменной.
Введём дополнительное обозначение u = φ(x) , тогда y = f (u) и дифференциал dy с использованием правила дифференцирования сложной функции y’ (x) = f ‘ (u)·u’ (x) принимает вид dy = f ‘ (u)·u’ (x)·dx .
Но последние два сомножителя в этом произведении совпадают с дифференциалом функции u , который по определению имеет вид du = u’ (x)dx , т.е. в новых обозначениях dy = f ‘ (u)·du

Таким образом, мы получили формулы одного и того же вида для дифференциала функции f (φ(x)) от независимой переменной x и для дифференциала функции f(u) от промежуточного аргумента u, представляющего собой дифференцируемую функцию от x.
Это и есть свойство инвариантности формы (формулы) первого дифференциала.

Пример,
пусть y(x) = sin (π − √x _ )

Рассматриваем переменную х . Это независимая переменная, дифференциал

Рассматриваем переменную t = √x _ , тогда y(t) = sin (π − t) . Вычисляем дифференциал

Рассматриваем переменную u = π − √x _ , тогда y(u) = sin (u) . Вычисляем дифференциал

Здесь везде в конце вместо обозначений u и t подставлены их выражения в явном виде.
Нижний индекс показывает по какой переменной вычисляется производная.

Свойство инвариантности, утверждающее, что это один и тот же дифференциал, позволяет записать следующиую цепочку равенств

Это и есть процесс вынесения функций за знак дифференциала.
Сначала за знак дифференциала вынесена производная функции синус по его аргументу, аргумент остался под знаком следующего дифференциала. Затем вынесена производная поддиференциального выражения по переменной √x _ , она оказалась равной минус единице, под знаком дифференциала остался квадратный корень. И, наконец, после вынесения производной квадратного корня, остался дифференциал независимой переменной.

Другими словами “инвариантность” – это, когда “без вариантов”. Какие переменные ни вводи, до какой степени подробности ни вычисляй производную, главное записывай единообразно, и результат будет верным.

Чтобы внести функцию под знак дифференциала, надо построить такую же цепочку в обратную сторону. Для этого уже потребуется определять не производные, а первообразные функций, стоящих перед знаком дифференциала. Например,

Функция косинус внесена под знак дифференциала. Для этого мы сначала убедились в идентичности переменных под знаками функции и дифференциала (здесь явной заменой переменных, что необязательно), а затем просто вспомнили, что первообразной косинуса является синус.

Дробь с квадратным корнем внесена под знак дифференциала. Здесь числитель и знаменатель дроби зависели от разных переменных, поэтому мы вынуждены были сначала выделить сомножитель, соответствующий производной корня второй степени, а затем записать его первообразную, т.е. сам корень, под знаком дифференциала.

Чем лучше вы ориентируетесь в производных и первообразных основных элементарных функций, тем легче будет увидеть следующий шаг. Полагаю, что и таблицу производных, и таблицу первообразных вы уже изучали, но теперь удобнее свести их в одну. Поэтому рекомендую повторить Единую таблицу производных и первообразных.

Свойства линейности первого дифференциала функции.

( f (x) ± C ) ‘ = f ‘ (x) ± 0 = f ‘ (x)
( C·f (x) ) ‘ = C·f ‘ (x)
.

О последней из них часто забывают и, пользуясь полной формулой дифференцирования дроби, делают совершенно необязательные ошибки из серии “на невнимательность”. Поэтому напоминаю еще раз, постоянный множитель можно выносить за знак производной. Ориентируйтесь следующие примеры.

Поскольку дифференциал функции определяется через её производную, при вычислении дифференциала срабатывают те же свойства и правила.

Следствием этого свойства является возможность дописывать под знаком дифференциала любое постоянное слагаемое. Например,

Чтобы использовать это свойство при вычислении неопределенных интегралов, бывает удобно умножить и разделить на одно и то же число функцию, которую нужно внести под знак дифференциала. Например,

Дополнительные примеры и упражнения.

Пример 1.

Сначала расставили скобки, чтобы разобраться в сложных функциях, и выделили выражение с независимой переменной.

Первообразная выделенной дроби (функции, зависящей непосредственно от x) – натуральный логарифм. Внесли его под знак дифференциала.

Дифференциал логарифма сгруппировали с элементарной функцией, зависящей непосредственно от логарифма. Эта функция – синус логарифма. (Если трудно, можно сделать замену t = lnx .)

Первообразной синуса, является функция минус косинус того же аргумента. Вносим косинус логарифма под дифференциал. Получившееся выражение содержит только функцию cos ln x как под знаком дифференциала, так и вне его.

Находим первообразную дроби перед дифференциалом по формулам для степенной функции и вносим её под знак дифференциала. (Если трудно, можно сделать замену u = cos(lnx) .)

Здесь удалось внести под знак дифференциала всё выражение. К сожалению, это не всегда просто и даже не всегда возможно. Поэтому и интегрирование сложнее дифференцирования. Чаще всего мы можем внести под знак дифференциала только часть подынтегрального выражения, но и это существенно упрощает задачу.

Вынести функции из-под знака дифференциала

Внести функции под знак дифференциала

dx ______ √1 − x 2 _____ = d ( _______ )

√3x + 7 _____ dx = d ( 3 _______ 2 √3x + 7 _____ )

В первом выражении потеряны коэффициент и знак первообразной синуса.
Во втором, вероятно, была неправильно выделена производная арктангенса. В знаменателе этой функции должна стоять единица(!) плюс квадрат переменной.
В третьем случае вместо первообразной внесена под знак дифференциала производная, что является грубой ошибкой.
Ниже правильные решения подробно. Как уже упоминалось, замену переменных можно делать явно, как в первых двух случаях, или устно, как в последнем.

При обнаружении ошибок или опечаток – сообщайте, пожалуйста, на e-mail.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь – mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

§24. Дифференциал функции

24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

24.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/ D х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х) · ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у’=х’=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

dy=(3х 2 -sin(l+2x))’dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

24.2. Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ ½ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

24.3 Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с’dx=0•dx=0.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

d(uv)=(uv) ‘ dx=(uv ‘ +vu ‘ )dx=vu ‘ dx+uv ‘ dx=udv+vdu

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать

Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у’_хdx=у’_u•u’_хdx. Но у’_хdx=dy и u’_хdx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

Сравнивая формулы dy=у’_х•dx и dy=у’_u•du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула dy=у’_х•dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у’_u•du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х — независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

24.4. Таблица дифференциалов

24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.

3 -2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.

Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)’•∆х=(3х 2 -2)•∆х.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:

∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 •∆х+3х•(∆х) 2 +(∆х) 3 -2х-2•∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х•∆х+(∆х) 2 -2);

Абсолютная погрешность приближения равна

Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим

Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:

т. е.

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М•(∆х) 2 , где М — наибольшее значение |ƒ”(х)| на сегменте [х;х+∆х].

Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела

Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H'(t)•∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H'(t)=g_лt, находим

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела

24.6. Дифференциалы высших порядков

Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х — независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ'(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 ƒ(х).

Итак, по определению d 2 y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).

Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

d 2 y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(ƒ'(х)dx)’•dx=f”(x)dx•dx=f”(x)(dx) 2 т. е.

Здесь dx 2 обозначает (dx) 2 .

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ”(х)dx 2 )≈f'(x)(dx) 3 .

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Отсюда находим, что, В частности, при n=1,2,3

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х — независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х — функция от кαкой-mo другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:

d 2 y=d(f'(x)dx)=d(ƒ'(х))dx+ƒ'(х)•d(dx)=ƒ”(х)dx•dx+ƒ'(х)•d 2 x, т. е.

d 2 y=ƒ”(х)dx 2 +ƒ'(х)•d 2 x. (24.6)

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ'(х)•d 2 х.

Ясно, что если х — независимая переменная, то

d 2 x=d(dx)=d(l•dx)=dx•d(l)=dx•0=0

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).

2 y, если у=е 3х и х — независимая переменная.

Решение: Так как у’=3е 3х , у”=9e 3х , то по формуле (24.5) имеем d 2 y=9e 3x dx 2 .

2 y, если у=х 2 и х=t 3 +1и t— независимая переменная.

Решение: Используем формулу (24.6): так как

у’=2х, у”=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,

то d 2 y=2dx 2 +2x•6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Другое решение: у=х 2 , х=t 3 +1. Следовательно, у=(t 3 +1) 2 . Тогда по формуле (24.5)

Что такое дифференциал функции?

Понятие дифференциала функции связано с такими важными математическими разделами как дифференциальное и интегральное исчисление и тесно связано с понятием производной функции. Наиболее часто дифференциал применяется для приближенных вычислений, а также для оценки погрешностей формул и измерений.

Дифференциал функции — это линейная часть приращения функции. Говоря о значении дифференциала функции, рассматривают конкретную точку функции и бесконечно малое изменение аргумента.

Пусть x_o есть некоторая точка из области определения функции f(x), а Δx – есть бесконечно малая величина. Тогда дифференциал функции находится как произведение значения производной функции и приращения её аргумента. Дифференциал функции f(x) обозначается как df(x).

История открытия дифференциала

Чаще всего открытие дифференциально-интегрального исчисления принято связывать с именем Исаака Ньютона, однако, этот факт активно оспаривают учёные со всего света.

Действительно, открытие целого нового направления в науке, столь значимого для её развития, было бы ошибочно считать заслугой только одного учёного. Изначально интегрирование связывали с вычислением площадей и объёмов криволинейных фигур. Такие задачи, как известно, решались ещё во времена Архимеда, поэтому его имя также имеет отношение к открытию дифференциального исчисления.

Также дифференцирование имеет отношение к решению задач на проведение касательных к различным кривым. Данное направление активно развивали греческие математики. В те времена математики столкнулись с трудностью, которую не смогли решить в дальнейшем и представители Нового времени.

Дело в том, что для определения направления прямой требовалось знать координаты как минимум двух точек, а касательная имеет лишь одну точку соприкосновения с кривой. Этот факт натолкнул учёных на мысль о том, что в одной точке кривая может иметь несколько касательных. В то время ученые пришли к выводу, что прямая состоит не из точек, а из отрезков минимальной длины. Таким образом, они считали направление касательной в некоторой точке совпадающим с направлением атомарного отрезка в данной точке.

В дальнейшем учёные Нового времени опровергли данную теорию. В этот период огромный вклад в развитие науки внёс Исаак Ньютон. Ученый сформулировал определения и принципы решения производных, а также основы дифференциального исчисления, которых придерживаются учёные и в наши дни.

Дифференциальное исчисление широко применяется в математике и других науках для решения различных задач.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала заключается в следующем: дифференциал функции f(x) равен приращению ординаты касательной к графику функции, которая проведена через некоторую точку с координатами (x,y) при изменении координаты x на величину Δх=dx.

Дифференциал является главной линейной частью функции относительно приращения аргумента. Чем меньше приращение функции, тем большая доля приращения приходится на эту линейную часть.

Таким образом, при бесконечно малом Δх, приращение функции можно считать равным ее дифференциалу. Это свойство дифференциала позволяет использовать его для приблизительных вычислений и оценки погрешностей измерений.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Поскольку дифференциал функции является частью ее приращения, то при бесконечно малом приращении аргумента он приблизительно равен приращению функции. При этом чем меньше приращение аргумента, тем точнее значение функции. Этот факт даёт возможность использования дифференциалов для приближённых вычислений.

С помощью таких вычислений можно решать различные виды задач. Приближённые вычисления практически всегда связаны с наличием погрешности.

Использование дифференциала для оценки погрешностей

Результаты измерений в большинстве случаев содержат ошибку, обусловленную неточностью измерительных приборов.

Число, несколько превышающее или равное этой неточности, называется «предельной абсолютной погрешностью».

Отношение предельной погрешности к значению измеряемой величины называют «предельной относительной погрешностью».

Для оценки величины погрешностей измерений используют дифференциальное исчисление.

Источники:

http://mathportal.net/index.php/matematicheskij-analiz/145-differentsialy-pervogo-poryadka
http://math.semestr.ru/math/differential.php
http://nauka.club/matematika/algebra/differentsial-funktsii.html
http://mathematichka.ru/all_students/Integral/differential.html
http://www.znannya.org/?view=diferentsual_fynktsuu
http://math24.biz/article?id=differentsial_funktsii